• Что представляет собой вероятность проигрыша?
  • Математическое ожидание для проигрышных последовательностей
  • Анализ потерь на реальных примерах из истории размещения ставок
Как долго будет длиться череда неудач в размещении ставок?

Любой игрок сталкивается с проигрышем, независимо от того, насколько он квалифицирован. Вереница неудач для одних игроков может тянуться дольше, чем для других. Как рассчитать продолжительность последовательности проигрышей при размещении ставок? Ознакомьтесь со статьей и узнайте ответ на данный вопрос.

Выигрыш по ставке всегда доставляет радость. Однако, проигрыш приносит отрицательные эмоции, которые, с психологической точки зрения, оказывают воздействие в два раза сильнее, чем ощущение удовольствия при выигрыше. Зачастую ответной реакцией на проигрыш (в особенности на серию проигрышей) становится опрометчивое поведение: пытаясь отыграться, проигравшие начинают размещать ставки чаще или в более крупных размерах.

Даже профессиональные игроки, чьи ставки обладают положительным математическим ожиданием, в случае возникновения череды неудач могут совершенно иррационально поставить под сомнение эффективность своей системы размещения ставок. Гораздо легче усомниться в себе после 10 проигранных ставок подряд, чем после 10 выигрышных, даже если в статистическом плане оба этих события имеют приблизительно одинаковую вероятность. Вряд ли кто-то потрудился бы подвергнуть сомнению сверхэффективную систему.

В данной статье эксперт БК Pinnacle выполнит простое моделирование проигрышных последовательностей, а также рассчитает математическое ожидание возможной длительности подобной череды неудач.

С целью упрощения понимания эксперт ограничил масштабность исследования. Он смоделировал k последовательных проигрышей в выборке из n обладающих одинаковыми коэффициентами ставок: хотя, вы можете расширить эту модель для изучения более сложных проигрышных последовательностей в более комплексных историях размещения ставок с различными коэффициентами. Для этого вы можете выполнить моделирование по методу Монте-Карло. По крайней мере, при максимально простой череде неудач можно вывести базовую математическую формулу для описания закономерности, чего не так-то просто добиться при более сложных последовательностях.

Вероятность проигрыша

Давайте рассмотрим историю размещения ставок такого игрока, уровень профессионализма которого позволяет выйти на без убыток в долгосрочной перспективе. Иначе говоря, этому игроку удается размещать ставки при справедливых коэффициентах. Таким образом, используемые им коэффициенты будут отражать «истинную» вероятность исхода события. На самом деле, как покажут дальнейшие расчеты, результаты исследования для непрофессиональных игроков, размещающих ставки с маржей, не сильно отличаются от результатов для профессионалов, которым удается получить гарантирующего прибыль математического ожидания. Причина проста: большинство происходящих в сфере размещения ставок событий подвержено влиянию случайности.

Коэффициенты величиной 2,0 соответствуют вероятности в 50 %, коэффициенты величиной 4,0 соответствуют 25 % и т. д. Вероятность выигрыша для k последовательных ставок с одинаковыми коэффициентами o можно рассчитать следующим образом:

Например, вероятность выигрыша пяти последовательных ставок «один к одному» при справедливых коэффициентах величиной 2,0 составляет 1/32.

Но здесь нас интересуют проигрыши по ставкам. При коэффициентах на победу величиной 2,0 коэффициенты на проигрыш будут также равняться 2,0, так как вероятность и победы, и проигрыша составляет 50 %.  В общем плане, гораздо чаще коэффициенты на победу не соответствуют коэффициентам на проигрыш. Учитывая, что вероятность проигрыша равна единице, из которой вычитается вероятность выигрыша, коэффициенты на проигрыш можно рассчитать с помощью следующего выражения:

Таким образом, вероятность проигрыша для k последовательных ставок с одинаковыми коэффициентами o можно рассчитать формулой:

Математическое ожидание для проигрышных последовательностей

Какова вероятность наличия k (или более) последовательных проигрышей в выборке из n ставок с коэффициентами o? Оказывается, математические расчеты для этого случая нетривиальны. Но можно немного изменить формулировку этого вопроса, что упростит соответствующие расчеты. Давайте разберемся: сколько раз можно ожидать k последовательных проигрышей в выборке из n ставок с коэффициентами o?

Проанализируем простой пример. Сколько раз можно столкнуться с тремя последовательными проигрышами для ставок с коэффициентами 2,0 в серии из 10 ставок? Мы уже знаем, что вероятность возникновения однократной последовательности из трех проигрышей подряд составляет 1/8. Однако в серии из 10 ставок есть множество вариантов возникновения последовательности из трех проигрышей подряд. Подобную череду мы можем наблюдать в ставках с первой по третью, со второй по четвертую и так далее, вплоть до ставок с восьмой по десятую.

В этом примере у нас есть восемь возможных последовательностей, поэтому предполагаемая вероятность возникновения подобной последовательности в 10 ставках соответствует 8/8 или же единице. Другими словами, в среднем можно ожидать возникновения одной последовательности из трех проигрышей в каждых десяти ставках. Иногда их может быть больше, иногда их и вовсе не будет, но усредненный результат все равно будет равен единице.

Более обобщенно, количество возможных расположений такой последовательности в серии из n ставок соответствует n – (k – 1) или же n – k + 1.

Следовательно, можно рассчитать ожидаемое количество k последовательных проигрышей (назовем его ek) в выборке из n ставок:

При увеличении числа ставок (n) и малых значениях k (а значение k всегда будет гораздо меньше n, так как величина интересующих нас и реалистично возможных последовательностей достаточно мала) значение ek будет стремиться к следующим показателям:

Например, для выборки из 1000 ставок с коэффициентами 2,0 количество ожидаемых проигрышных последовательностей из пяти ставок составит 31,25 (31,125, по более точной формуле), что можно округлить до 31 – ближайшего целого числа.

Поскольку количество ставок (n) прямо пропорционально соответствует ожидаемому количеству проигрышных последовательностей длиной в k ставок, можно предполагать наличие около 62 последовательностей из пяти проигрышей для 2000 ставок и наличия около 93 последовательностей для 3000 ставок.

При ek = 1 величина k представляет собой длину максимальной из проигрышных последовательностей, которую можно ожидать в выборке из n ставок. Почему именно так? При значении менее единицы мы не столкнемся с этой последовательностью, при превышающем единицу значении есть вероятность возникновения более продолжительной последовательности проигрышей, но ее повторений при этом будет гораздо меньше.

Таким образом, когда n >> k и ek = 1, мы получим следующие результаты:

Перепишем формулу в другом виде:

где  представлено основание логарифма.

Для 1000 ставок с коэффициентами 2,0 ожидаемая длиннейшая последовательность проигрышей составит log21000 = 9,97 или же 10 (вновь округляем до ближайшего целого числа). Иначе говоря, имея дело с выборкой из 1000 ставок, можно ожидать, что самая длинная последовательность проигрышей будет состоять из 10 ставок.

Для коэффициентов величиной 3,0 ожидаемая длиннейшая последовательность проигрышей будет равна 17, а для коэффициентов величиной 5,0 – 31. Равные 5,0 коэффициенты характерны для ставок на скачки. Как вы думаете, удастся ли вам смириться с 31 последовательным проигрышем, и при этом не облиться холодным потом при размещении очередной ставки?

Эксперт БК Pinnacle провел моделирование по методу Монте-Карло с 10 000 итераций и проверил свои математические расчеты для ek. В таблице, приведенной ниже, сравниваются результаты для различных значений k. Существует почти идеальное соответствие между показателями, полученными с помощью расчетов по используемой нами ранее математической формуле для определения проигрышных последовательностей, и итогами моделирования по методу Монте-Карло.

На приведенном ниже графике показана зависимость между k и ek для различных коэффициентов на победу. Ось Y (величина ek) является логарифмической. Прямая линия подтверждает, что величина k обратно пропорциональна логарифму ek, который в точности соответствует математическим расчетам. Точка, в которой каждая линия пересекает ось X (ek = 1), является ожидаемой длиннейшей последовательности проигрышей.

БК Pinnacle

Учитывая продемонстрированное отклонение величины k, можно отметить, что ожидаемая длиннейшая последовательность проигрышей в выборке из n ставок также пропорциональна логарифму n, как показано на приведенном ниже графике. Таким образом, значение k удваивается при каждом возведении значения n в квадрат.

БК Pinnacle

Вероятность возникновения проигрышной последовательности

Знать ожидаемое количество проигрышных последовательностей – это одно, но мы все еще не знает вероятности их появления. Как уже упоминалось ранее, математические расчеты для этого нетривиальны, потому что распределение частот (вероятностей) для количества проигрышных последовательностей длинной k в выборке из n ставок представляется неочевидным и будет различаться в зависимости от диапазонов значений k.

Например, мы можем знать, что в среднем мы столкнемся с одной последовательностью проигрышей в рамках 10 ставок, относящихся к выборке из 1000 ставок «один к одному», но это среднее значение. Довольно часто подобные последовательности будут отсутствовать, иногда мы увидим сразу две, а иногда – пять или больше. Вместо этого гораздо проще снова довериться нашему испытанному моделированию по методу Монте-Карло.

Благодаря 10 000 запусков использующей метод Монте-Карло модели эксперт БК Pinnacle подсчитал количество случаев, в которых последовательность проигрышей длиной k не наблюдалась. Например, для k = 10 и выборке из 1000 ставок «один к одному» максимальная последовательность оказывалась короче ожидаемой в 6086 случаях, но равнялась как минимум 10 во всех остальных прогонах модели.

Полагаясь на закон больших чисел можно утверждать, что возникновение проигрышной последовательности длиной не менее 10 ставок происходит с вероятностью примерно 39 %. На интуитивном уровне это выглядит правильно: мы помним, что расчеты указывают на возникновение проигрышной последовательности из 10 ставок в такой выборке примерно один раз. На приведенной ниже диаграмме показана зависимость возникновения последовательности из k или больше проигрышей от величины k.

БК Pinnacle

Наглядно показано, что чем крупнее выборка, тем больше вероятность того, что в какой-то момент игроку может крупно не повезти. Мы знаем, что вероятность возникновения 10 последовательных проигрышей в выборке из 1000 ставок «один к одному» составляет 39 %. Чему будет равняться этот показатель при уменьшении или увеличении выборки? Для ответа на этот вопрос необходимо провести одно моделирование по методу Монте-Карло. Ниже приведена диаграмма для k = 10.

БК Pinnacle

Мы можем выполнить аналогичное моделирование для любого значения k или другого набора коэффициентов. Ниже приведены результаты для коэффициентов 3,0 и проигрышной последовательности длиной не менее 17 ставок.

БК Pinnacle

Анализ потерь на реальных примерах из истории размещения ставок

До сих пор этот анализ был скорее теоретическим, поскольку мы рассматривали выборки ставок, в которых коэффициенты оставались неизменными. Эти данные хорошо отражают реальность для ставок на разницу в счете и ставок с азиатским гандикапом, но они плохо применимы для денежных линий и фиксированных коэффициентов: при размещении ставок последних двух типов игроки сталкиваются с большим многообразием коэффициентов. Например, в системе размещения ставок Wisdom of the Crowd есть матчи с коэффициентами от 1,11 до 67,0 со средним значением 3,9 и стандартным отклонением, превышающим 4,0.

Конечно, мы могли  бы использовать моделирование по методу Монте-Карло для определения ожидаемой проигрышной последовательности, но существует ли способ прибегнуть к математическим расчетам? Ответ – да, нам просто нужно внимательно выбирать подходящее значение для выражающей коэффициенты величины o. Мы не можем использовать средние коэффициенты для нашей выборки, потому что результат будет непропорционально перекошен в сторону более высоких коэффициентов.

Вместо этого мы должны использовать инверсию средних предполагаемых вероятностей для всех коэффициентов. Например, если в нашей выборке есть пять ставок с коэффициентами 2,0, 3,0, 5,0, 10,0 и 20,0, следует рассчитать предполагаемые вероятности (0,5, 0,333, 0,2, 0,1 и 0,05), вычислить их среднее арифметическое (0,237) и выполнить его инверсию (o = 4,23).

Эксперт БК Pinnacle выполнил все эти операции для своей системы Wisdom of Crowd, которая содержит выборку из 9436 ставок. Использование рассчитанного с помощью указанного выше метода значения o = 2,66 — результат идеального соответствия ожидаемых значений k и реальных проигрышных последовательностей.

Математические расчеты предсказали 898 проигрышных последовательностей по крайней мере из пяти или более ставок, а на самом деле их было 889. Аналогично, для k = 10 математические расчеты указали на значение 85; и в реальности существовало 85 соответствующих последовательностей. Для k = 9 спрогнозированное значение было восемь, фактически оно было равным девяти. Самая длинная проигрышная последовательность (ek = 1) по прогнозам соответствовала 19. Она действительно состояла из 19 ставок и возникла лишь однажды.

Что же насчет последовательностей выигрышей?

Мы можем использовать аналогичные расчеты для изучения математического ожидания последовательностей выигрышей. На самом деле, это потребует меньших усилий: можно подставить коэффициенты на победу напрямую в формулу, не тратя время на преобразование их в коэффициенты на проигрыш. Таким образом:

И для ek = 1:

Однако, для анализа выборок с разнородными коэффициентами необходимо помнить о важности использования подходящего значения o, которое должно представлять собой не усредненные коэффициенты, а инвертированное значение усредненных предполагаемых вероятностей.

Так что же мы узнали о проигрышных последовательностях в размещении ставок?

При размещении ставок на протяжении длительного времени неизбежно приходится сталкиваться с неудачами. Каждый успешный игрок должен не только искать предположительно ценные ставки, но также сдерживать свои ожидания и уметь справляться с неизбежными последовательностями неудач, которые могут существенно повлиять на психологическое состояние игрока. Знание о том, чего ожидать от ставок и как оценивать результаты, сможет по крайней мере подготовить вас к будущим неудачам.